十进制转二进制公式

在计算机科学中，二进制是最基本的数字系统之一。二进制系统使用两个数字（0和1）来表示所有数值。十进制转二进制是将十进制数（基数为10）转换为二进制数（基数为2）的一种常见操作。下面我们将介绍如何将一个十进制数转换为二进制数的公式和方法。

十进制转二进制的基本步骤

要将十进制数转换为二进制数，通常采用除2取余法。具体步骤如下：

1. 除2取余：将十进制数除以2，记录下余数。
2. 更新商：用商作为新的被除数继续除以2。
3. 重复操作：重复以上过程，直到商为0。
4. 反向读取余数：将所有的余数倒序排列，得到二进制数。

公式推导

除2取余法

对于十进制数 ( N )，我们通过不断除以2来得到二进制表示。每次除以2后，记录余数 ( r )（即 ( N \div 2 ) 的余数），然后用商作为新的十进制数继续除以2，直到商为0。最终，二进制数就是这些余数从最后一个到第一个的倒序排列。

公式过程可以表示为：

1. ( N = Q_0 \times 2 + r_0 )
2. ( Q_0 = Q_1 \times 2 + r_1 )
3. ( Q_1 = Q_2 \times 2 + r_2 )
4. ...

直到商为0，余数 ( r_n ) 就是二进制数的各位。

举例说明

假设要将十进制数 ( 13 ) 转换为二进制：

1. ( 13 \div 2 = 6 ) 余数 ( 1 )
2. ( 6 \div 2 = 3 ) 余数 ( 0 )
3. ( 3 \div 2 = 1 ) 余数 ( 1 )
4. ( 1 \div 2 = 0 ) 余数 ( 1 )

余数从下到上排列为 ( 1101 )，因此 ( 13 ) 的二进制表示为 ( 1101_2 )。

小结

通过上述步骤和公式，我们可以将任意十进制数转换为二进制数。关键在于不断除以2并记录余数，最后将余数倒序排列得到最终的二进制数。